面元矢量的选取规则(ug指定平面矢量是什么意思？)-鸿图投资网

摘要：ug指定平面矢量是什么意思？指方向向量。根据查阅得知，矢量里面矢是方向，量是大小，矢量就是有方向，有大小的量.ug里面矢量的话基本指的是方向，选基准，作曲线之类的，矢量

ug指定平面矢量是什么意思？

指方向向量。

根据查阅得知，矢量里面矢是方向，量是大小，矢量就是有方向，有大小的量.ug里面矢量的话基本指的是方向，选基准，作曲线之类的，矢量指的都是方向。

矢量是一种既有大小又有方向的量，又称为向量。

我在画图时表面粗糙读上的数值该怎么标，有些是0.83.2等等选取原则是什么

虽然我很聪明，但这么说真的难到我了

ug输出stl设置面元大小

1、首先打开UG10.0软件，新建一空白的模型文件，另存为：UG10.0中如何调整面的大小。2、其次执行【菜单——插入——设计特征——圆柱体】，指定矢量Z轴，指定点：坐标原点，设置尺寸：直径5，高度5，点击确定。3、然后点击工具栏中的【更多——调整面大小】，进行调整即可。

【技术推文】基于深度学习的遥感图像分类总概

传统的分类方法分两种：监督分类和非监督分类。监督分类要求对所要分类的地区必须要有先验的类别知识，即先要从所研究地区中选择出所有要区分的各类地物的训练区，用于建立判别函数。常用的监督分类方法有：K近邻法、马氏距离分类、最大似然法等方法。监督分类方法主要有：均值、方法等。研究者对非监督分类产生的类别较难控制监督分类，结果通常不理想。

近年来，分类方法逐渐向机器学习的方向发展。传统机器学习方法,如Smolensky的受限玻尔兹曼机(RestrictedBoltzmannMachine,RBM)[2]、Olshausen和Field的稀疏编码(SparseCoding,SC[3])等,大都使用浅层结构,处理有限数量的样本。当目标对象具有丰富含义时,基于这些浅层结构学习到的特征表达,在处理复杂的分类问题时,表现性能及泛化能力均有明显不足。2006年，Hinton等［4］基于人脑学习的思想提出了一种深度神经网络的机器学习方法。深度神经网络（DeepNeuralNetwork，DNN）也称深度学习（DeepLearning）,已成为一种从海量图像数据中直接学习图像特征表达的强大框架。从计算机视觉的角度提取遥感图像信息，能够极大地提高含有大量未知信息的遥感图像分类的精度。因此，深度学习成为遥感图像分类研究中的热点。

2 深度学习典型方法和遥感应用

深度学习具有特征学习和深层结构两个特点，有利于遥感图像分类精度的提升。特征学习能够根据不同的应用自动从海量数据中学习到所需的高级特征表示，更能表达数据的内在信息。深层结构通常拥有多层的隐层节点，包含更多的非线性变换，使得拟合复杂模型的能力大大增强。遥感图像中深度学习分类算法主要可以分监督学习和非监督学习（见图1）。本文将对DBN、CNN、SAE三种典型的深度学习方法进行论述，并分析上述方法在遥感图像分类中的应用现状。

２.1深度置信网络（DBN）

深度置信网络（DeepBoltzmannMachine，DBM）是受限玻尔兹曼机（RestrictedBoltzMannmachine，RBM）的一种改进网络。RBM是由玻尔兹曼机（BoltzMannmachine，BM）简化而来。

BM属于无监督学习（见图2），其参数空间的每种情况都通过能量函数这一映射法则指向能量域中的一个能量。RBM是一种状态随机的网络模型（见图3），单层内的各单元间无连接，而层间的单元全连接。

虽然RBM能够很好地解析复杂数据，但是对于复杂度更高的数据或需要更深层次的解析时，需要引入多层次的网络模型，即深度置信网（DBN）。DBN由多层的RBM和一层分类器组成（见图4）。其训练过程分为两步．第一步是对DBN进行网络预训练，对每层的ＲＢＭ进行无监督学习；第二步是监督学习网络调整。对无监督学习阶段得到的特征信息进行总结、归纳、取舍，最后达到一个较好的识别水平。

图4 深度置信网（DBN）

目前深度信念网络（DBN）应用遥感数据主要有高光谱遥感、合成孔径侧视雷达、高分辨率遥感，但主要是经典数据集，需要进一步拓展不同遥感数据应用、不同行业应用。吕启等[8]利用深度信念网络应用于极化合成孔径雷达图像分类中，当层数为３、各隐含层节点数为64时，总体分类精度最高，达到77％，好于支持向量机与传统神经网络方法。刘大伟［9］采用深度信念网络（DBN）采用光谱－纹理特征对美国佐治亚州亚特兰市北部一住宅小区的高分辨率影像6种地类进行分类。邓磊等［13］利用深度信念网络解决了极化SAR图像分类中存在海量特征利用率低、特征选取主观性强的问题。方法首先进行海量分类特征提取,获得极化类、辐射类、空间类和子孔径类四类特征构成的特征集;然后在特征集基础上选取样本并构建特征矢量,用以输入到深度置信网络模型之中;最后利用深度置信网络的方法对海量分类特征进行逐层学习抽象,获得有效的分类特征进行分类。采用AIRSAR数据进行实验,分类结果精度达到91.06%。通过与经典Wishart监督分类、逻辑回归分类方法对比,表现了深度置信网络方法在特征学习方面的突出优势,验证了方法的适用性。

2.2深度自动编码（SAE）

深度自编码器（StackedAuto-Encoder,SAE）是改进的自动编码器（Auto-Encoder,AE）。

AE是由编码器和解码器两部分组成。编码器将输入数据映射到特征空间，解码器将特征映射回数据空间，完成对输入数据的重建。通过最小化重建误差的约束，学习从输入到特征空间的映射关系。为避免输入简单复制为重建后的输出，对AE增加一定的约束条件可变换为不同的形式。

SAE是由AE逐层叠加而成的，它通过对观测数据进行编码、解码特征表达，来获得简洁而有效的特征，并深度捕获隐藏在数据内部的规则；为充分利用数据类别、模式等隐含信息，同样要对其模型参数进行监督的微调。Liu等[5]构建了wacDAE（小波深度自动编码器）对光学遥感图像进行山崩自然灾害分类研究，该网络先进行小波变换和去噪等预处理，包含1个输入层、2层隐藏层和１层输出层，隐藏层节点数固定为100。700张遥感图像作为训练集500张遥感图像作为测试集。实验结果表明，wacDAE有利于山崩识别。邢晨[14]利用自编码器的深度学习网络模型对高光谱遥感图像进行分类。王巧玉[15]采用海量的未标记样本对网络进行无监督的训练，从而提取数据深层、抽象的特征信息；再将堆栈降噪自编码器与Softmax分类器组合以形成一个深层分类网络，采用有标记的样本对网络进行微调。

2.3卷积神经网络（CNN）

卷积神经网络（CNN）是通过模仿生物视觉的处理过程而构建的多阶段Hubel-Wiesel

结构。CNN的实质是输入到输出的映射关系。在学习之前，输入和输出之间没有明确的数学模型，CNN通过学习大量的输入与输出之间的映射，对卷积网络加以训练，从而建立模型。

2.3．1卷积神经网络内容

CNN的基本网络结构由输入层、卷积层(convolutionallayer)、池化层(poolinglayer，也称取样层)、全连接层及输出层构成。其中卷积层、池化层、全连接层有不同的功能。

（1）卷积层。卷积层由多个特征面(FeatureMap)组成，每个特征面由多个神经元组成，它的每一个神经元通过卷积核与上一层特征面的*部区域相连。卷积核是n×n的矩阵。首先从图像中随机选取一小块*域作为训练样本，从该小块样本中学习到一些特征，然后将这些特征作为滤波器，与原始整个图像作卷积运算，从而得到原始图像中任一位置上的不同特征的激活值。在CNN结构中，深度越深、特征面数目越多。但并不是深度越深越好，在实际应用中应适当选取网络深度、特征面数目来实现CNN的应用。

（2）池化层。池化层在卷积层之后。卷积层是池化层的输入层，卷积层的一个特征面与池化层中的一个特征面唯一对应，且池化层的神经元也与其输入层的*部接受域相连，不同神经元*部接受域不重叠。卷积层和池化层交替设置。如果选择图像中的连续范围作为池化区域，同时只对相同的隐含神经元产生的卷积特征使用池化，则这些池化后的特征单元具有平移不变性。即使原始图像中的物体产生了一个较小的平移，依然可以得到相同的池化特征，分类器也依然能够输出相同的分类结果。

（3）全连接层。在CNN结构中，经多个卷积层和池化层后，连接着1个或1个以上的全连接层。全连接层可以整合卷积层或者池化层中具有类别区分性的*部信息。为了提升CNN网络性能，全连接层每个神经元的激励函数一般采用ReLU函数。最后一层全连接层的输出值被传递给一个输出层，可以采用softmax逻辑回归(softmaxregression)进行分类。对于一个具体的分类任务，选择一个合适的损失函数是十分重要的。

2.3．2卷积神经网络的优化

自AlexNet提出后，深度学习领域的研究发展极其迅速，基本上每年甚至每几个月都会出现新一代的技术。新的技术往往伴随着新的网络结构，更深的网络的训练方法等，并在图像识别等领域不断创造新的准确率记录。卷积神经网络改进与优化的主要模型分别包括AlexNet、VGG、GoogleNet、ResNet等，采取技术不断优化，网络深度扩大，Top-5错误率在减少。

lexNet是一个8层的卷积神经网络，前5层是卷积层，后3层为全连接层，其中最后一层采用softmax进行分类。该模型采用Rectifiedlinearunits(ReLU)来取代传统的Sigmoid和tanh函数作为神经元的非线性激活函数，并提出了Dropout方法来减轻过拟合问题。

GoogleNet首次出现在ILSVRC2014的比赛中（和VGGNet同年），就以较大优势取得了第一名。那届比赛中的InceptionNet通常被称为InceptionV1，它最大的特点是控制了计算量和参数量的同时，获得了非常好的分类性能——Top-5错误率6.67%，只有AlexNet的一半不到。InceptionV1有22层深，比AlexNet的8层或者VGGNet的19层还要更深。但其计算量只有15亿次浮点运算，同时只有500万的参数量，仅为AlexNet参数量（6000万）的1/12，却可以达到远胜于AlexNet的准确率，可以说是优秀并且非常实用的模型。

在2015年年底揭晓的ImageNet计算机视觉识别挑战赛ILSVRC2015的结果中，来自微软亚洲研究院团队所提出的深达152层的深层残差网络（ResNet）以绝对优势获得图像检测、图像分类和图像定位3个项目的冠军，其中在图像分类的数据集上取得了3.57%的错误率。同年Long等提出的用于图像语义分割的全卷积神经网络(fullyconvolu-tionalneuralnet-works，FCN)[16]开辟来图像分割的新领域。该网络所有层都是卷积层，并采取反卷积操作，将低分辨率图片进行上采样，生成同分辨率的分割图片。2016年，Dai等提出区域全卷积神经网络(R-FCN)[17]。

2.3．3CNN在遥感图像分类领域应用

CNN对卷积核参数的学习训练是通过梯度反向传播算法实现的，该算法是一种有监督学习算法。其同一平面上的神经元权值相等，能够并行学习、高效率地处理遥感图像。杜敬[10]利用最大稳定极值区域对无人机遥感影像进行影像分割得到识别目标子区，然后采用共7层CNN模型（１层输入层、２层卷积层、２层采样层、１层全连接层、１层输出层）对水体进行识别，识别率达到95.36％。吴正文[18]研究了卷积神经网络的网络结构设计和参数优化对于图像分类的一般性规律。曹林林等[19]建立的卷积神经网络模型应用于昆明城区2007年高分辨率遥感图像（Quickbird）地表７种类型划分，总体精确达98.21％，降低了因图像平移、比例缩放、倾斜或者其他形式的变形而引起的误差。

3 存在问题与建议

基于深度学习对遥感图像分类在准确性、实用性、通用性等方面离大规模实际应用的要求还有一定差距。主要问题有算法自身问题、遥感图像引发的问题和应用上出现的问题三大类，下面本文将针对这些问题给出一些建议。

3．１算法自身的问题和建议

3.1.1 参数多

卷积神经网络的参数众多，但是目前的相关设置大多基于经验和实践，参数的量化分析与研究是卷积神经网络的一个有待解决的问题。深度学习中典型方法在遥感领域应用有初步成果，需要利用现有成果进行遥感图像处理规范建设。例如，如何均值处理、归一化来进行遥感数据规范。

3.1.2 网络结构

目前的趋势是网络越深，卷积神经网络的测试效果越好，部分网络甚至深达上千层。随着网络的加深，过拟合和网络退化问题显得更加严重。相比于人和其他动物的视觉机理，传输过程也不可能高达数百层。卷积神经网络需要优化结构设计，寻找更高效的神经元和结构单元。对人脑功能的模拟程度不完善。现有的深度学习技术模仿了人脑的层次结构和稀疏性，但模拟化程度不高。对大脑视觉皮层稀疏响应这种非常经济的响应机制的模拟程度不够。

3.２遥感图像特征的应用问题和解决

3.２．1 降维问题

高光谱图像有很大的数据量,并且数据的维数通常很高,因为高维数所产生的信息冗余,导致高光谱遥感图像丰富的信息难以被有效利用。单一的降维方式已经不能满足遥感图像的需求，需要探索更适合高光谱遥感图像的分类算法。

3.２．2遥感数据样本

在实际应用中,遥感图像的数据的采集和标定是较困难的,获取的已标定的训练样本集较小,因此在选取深度学习网络时需要合理的考虑遥感图像的特点,选取适合小样本、高维数据分析的网络模型。卷积神经网络需要动辄百万级的训练样本，卷积神经网络对百万级样本训练过程也极为漫长，如何从小量的数据中生成良好的神经网络将是未来的研究方向。例如目前深度信念网络（DBN）应用主要用经典数据集，进一步拓展不同遥感数据应用，可以选择小样本构建的方法。

此外迁移学习也可以解决遥感数据样本少的问题。在髙光谱遥感数据中,通常不同时间段拍摄的数据的光谱分布会有所不同,迁移学习则只利用有标签的时间段的数据,对无标签的其他时间段的数据进行分类,大大提高了数据的可利用性,节省了对所有数据标签的人力物力。

3.２．3遥感图像分辨率问题

高光谱图像其空间分辨率较低,其某些像元可能存在混合像元的现象,导致高光谱遥感图像中不同地物的像元信息不一定具有较大的区分度,且由于采集过程的失误也会产生相同地物的像元信息不一致性的特点。因此可以考虑一些非线性变换的方法提取其光谱特征,以及可以考虑加入直接的光谱特征,例如光谱吸收特征、光谱吸收指数及导数光谱等。

3.２．4遥感图像特征没有充分利用

遥感图像涵盖的纹理特征、光谱特征和空间特征都可以单独作为图像分类的依据，然而图像的这些特征信息在图像分类时尚未充分利用。对提取的这3类特征进行多角度充分利用，并将其共同作为分类依据，结合深度神经网络的训练模型，来提高遥感图像的分类精度，成为了该领域目前的研究热点。

3.3模型实际应用问题和建议

3.3.1计算速度

遥感大数据内部的复杂高阶统计特性需要高容量的深度模型来深度发掘。对应海量数据，还需要提供更高速的硬件，如多GPU混合异构的并行计算体系结构等。随着网络层次的加深，存储空间的需求也更大，算法并行化加速处理以及网络压缩也是今后研究的重点方向。对于遥感影像可采用图像分块等数据并行处理技术提升算法运行速度。对于遥感影像算法，则可进一步考虑算法的任务并行性，合理设置任务并行粒度进行算法设计。

3.3.2算法应用问题

遥感图像分类将有利于减灾应急、交通监管、渔业海事，乃至无人机和机器人等民用系统智能化水平的核心技术发展；如何利用深度学习进行遥感图像动态监测，如何应用综合网络于不同遥感图像融合并提高识别精度，值得进一步研究。

4关键技术和解决方案

4.1结合非监督方法降维

针对高光谱图像数据的维数高的问题，提出适合高光谱遥感图像的降维分类算法。可以考虑结合非监督分类的方法,如K-means等聚类方法,先进行聚类再进行各个类别降维提取特征分类的方法。例如基于MFCM和KPCA的多光谱图像特征提取方法。结合遥感数据的特点,对KPCA方法的输入数据方法进行了改进,先用MFCM方法对原始数据进行聚类,然后将获得的聚类中心作为输入样本,提取多光谱图像的非线性的特征,消除图像间存在的高阶相关性。

4.2迁移学习解决样本问题

现在深度网络的训练不仅需要大量的标签数据,并且需要很久的时间来训练。网络的训练需要更加有效地利用无标签数据,相信也是今后的研充重点。而与迁移学习的结合是利用无标签数据的一个很好的方向。

不同时间段、不同角度拍摄的遥感数据的会有所不同,迁移学习可只利用有标签的部分的数据,对无标签的其他时间段的数据进行分类。将两个不同分布的数据变换到相同的特征空间中,即可用其中一种分布的数据作为训练数据,对另一种分布的数据进行分类,整个操作也可在这个相同的特征空间中进行。这也是迁移学习要发展的方向。

例如多时相高光谱遥感图像分类问题,在优化的多层感知器算法中,加入源域数据和目标域数据的类心对齐策略,通过深度学习网络对两个域数据做非线性变换,达到变换后两个域数据特征相似的目的,从而使得网络具有迁移学习的能力。

4.3利用遥感图像空间特征

针对遥感图像空间结构特征等被忽略的问题。可以在数据训练样本集中采用组合邻域光谱矢量的方式,将所有训练样本的邻域信息考虑进去,使得在提取特征的过程中即能够获取样本的光谱特征,也能够融入其空间结构特征,实现数据融合。

也可以考虑构造融合空间信息的分类器。例如在分类遥感图像时，使用高光谱图像的像元矢量作为网络的训练样本后，采用构造融合空间信息的分类器进行分类。可以提高了高光谱遥感图像的分类精度。

5 结论和展望

本文首先介绍了遥感图像分类中的深度学习原理，然后对遥感图像分类在深度学习方面应用研究现状做出阐述，并分析了其中存在的问题。根据问题提出了解决办法和关键技术。最后总结了深度神经网络对遥感图像分类的发展趋势。

目前遥感图像的时间分辨率和空间分辨率的不断提升，并产生大量的多尺度遥感影像。遥感图像分类是分析遥感数据的重要手段。

未来，在森林防火、军事战略、交通管理等方面，建立基于深度学习对多尺度遥感影像图像分类的模型将是一个发展方向。在实时交通、无人驾驶等方面，需要及时的进行遥感图像获取和图像分类。基于任务的端到端卷积神经网络的设计(如:FasterR-CNN，FCN等)有助于提升网络的实时性，是目前的发展趋势之一。提高海量数据的训练速度和效率以及加快发展更高速的硬件也是研究的重点。

深度神经网络为遥感图像分类开辟了一片新天地。提高了精确制导、武器防御、海情监控等军事系统和减灾应急、交通监管、渔业海事等民用系统智能化水平。基于深度学习的遥感影像图像分类对大量未标记的遥感图像数据分类，将对遥感图像分类的深入发展做出更大的贡献。

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大学物理单位矢量怎么算？

矢量运算法则是一组用于处理矢量的数学规则。它们包括矢量的加法、减法、数量乘法和点乘法。

矢量加法满足交换律和结合律，可以将两个矢量的对应分量相加。

矢量减法是矢量加法的逆运算，将一个矢量的对应分量减去另一个矢量的对应分量。

数量乘法是将一个矢量的每个分量乘以一个标量。

点乘法是将两个矢量的对应分量相乘，并将结果相加。这些法则在物理学、工程学和计算机图形学等领域中广泛应用。

PS中如何选择矢量元素？

1、选中矢量图层之前需要加图层蒙版。

2、点击"图层"--"矢量蒙版"--"显示全部"。这时在图层的右边已经加上矢量蒙版了。

3、点击钢笔工具,在上面应该出现钢笔工具栏,在钢笔的右面有三个选项,即"形状图层"、"路径"、"填充像素"，选择"路径"，然后在界面中绘制就可以。矢量蒙版的路径可以通过路径修改工具来修改。

Adobe Photoshop，简称“PS”，是由Adobe Systems开发和发行的图像处理软件。

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[附录一矢量来自分析与场论概念]矢量分析与场论

附录一矢量分析与场论概念一．标量场和矢量场1.1概念标量：只有大小而没有方向的量。如电压U、电荷量Q、磁通ψ、面积S等。矢量：具有大小和方向特征的量。如电场强度矢量、磁场强度矢量、作用力矢量、速度矢量等。标量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个标量唯一地描述，则该标量函数定出标量场。例如物理系统中的温度、压力、密度等可以用标量场来表示。矢量场：在指定的时刻，空间每一点可以用一个矢量唯一地描述，则该矢量函数定出矢量场。例如流体空间中的流速分布等可以用矢量场来表示。1.2矢量描述矢量A可采用有向线段、文字、单位矢量、分量表示等多种方式来描述。单位矢量用a表示，其绝对值（大小或长度）为1。在矢量A方向上的单位矢量可用下式确定：aA=A|A|用笛卡儿坐标系x、y、z轴的单位矢量i、j、k，可以将任意一个矢量表示为分量形式：A=AXi+AYj+Azk根据各分量含义，矢量的绝对值定义为：A=22Ax+Ay+Az21.3场的"场图"表示研究标量和矢量场时，用“场图”表示场变量在空间逐点演变的情况具有很大的意义。对标量场Ф(r)，用等值面图表示。空间内标量值相等的点集合形成的曲面称为等值面，例如气象图上的等压线，地图上的等高线等。显然，等值面的方程式为Ф(r)=常数值。对矢量场F(r)，则用一些有向曲线来形象表示矢量在空间的分布，称为力线或流线。力线上任意点的切线方向必定与该点的矢量方向相同，即dl⨯F(r)=0,称为力线的微分方程式。式中dl为力线切向的一段矢量。在直角坐标内，力线的微分方程式可写成：dxdydz==Fx(r)Fy(r)Fz(r)按统一规则，绘制出力线，则既能根据力线确定矢量场中各点矢量的方向，又可根据各处力线的疏帝海验展所右室认密程度，判别出各处矢量的大小及变化趋势。1.4矢量代数1.4-1加减运算作图法：遵循平行四边形法则分量法：附图1力线图A±B=(Ax±Bx)i+(Ay±By)j+(Az±Bz)k1.4-2点积运算（标量积、内积）公式：A∙B=AxBx+AyBy+AzBz=ABcosθ特点：A∙B=B∙A,|A|=A∙A0≤θ≤1800n01.4-3求矢量积（叉积、外积）公式：A⨯B=(ABsi)n0θn用行列式表示为θAiA⨯B=AxBxjAyBykAzBz附图2矢量积图示（按右手螺旋关系）=(AyBz-AzBy)i+(AzBx-AxBz)j+(AxBy-AyBx)k特点：A⨯B=-B⨯A1．4-4矢量运算满足结合律、分配律和交换律A±(B±C)=(A±B)±Cm(A±B)=mA±mB,(m1±m2)A=m1A±m2AA±B=B±A二．坐标系2.1-1概念空间中任一点与有序数u1、u2、u3一一对应，则称u1、u2、u3为空间点的曲线坐标。特点：坐标曲线相互正交，且符合右手定则，即eu1⨯eu2=eu3,eu2⨯eu3=eu1,eu3⨯eu1=eu2其中：e表示为某一空间点的曲线坐标上的单位矢量。2.1-2三种常用的坐标系常用的正交坐标系有三种：直角坐标系(x、y、z；i、j、k)，圆柱坐标系(r、α、z；r0、α0、k0)及球坐标系(r、θ、α；r0、θ0、α0)。如附图3所示。在以上三种坐标系中，一个矢量可以用三个相互正交的分量表示为A=Axi+Ayj+Azk直角坐标系A=Arr0+Aαα0+Azk圆柱坐标系A=Arr0+Aθθ0+Aαα0圆球坐标系附图3圆柱坐标系和球坐标系2.1-3微分体积元、微分面积元和微分线元在三个坐标系中微分体积元dv的表达式由附图4给出x(a)直角坐标系zy(b)圆柱坐标系附图4(c)圆球坐标系dv=dxdydz直角坐标系dv=rdrdαdz圆柱坐标系dv=r2sinθdrdθdα圆球坐标系由附图4也可求出包围微分体积的各面积元的面积，如在球坐标系中，垂直于r0的微分面积元为dS=(rdθ)(rsinθdα)=r2sinθdθdα微分线元dl是通过Q点处增量长方体对角线长度，有dl=直角坐标系dl=圆柱坐标系dl圆球坐标系三．矢量的通量、散度3.1矢量的通量面元矢量：有两种情况dS为一个开表面上的面元，其方向与围成该开表面的闭合回路的方向呈右螺旋关系。dS为一个闭合面上的面元，其方向为该闭合面的外法线方向，如附图5所示。n(a)开表面(b)闭合表面附图5面元矢量通量定义：矢量A沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量，即ψ=A⋅dSS物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。3.2矢量的散度目的：研究闭合面内每一点附近的通量。定义：在矢量场A中，围绕Q点做一闭合面，所围体积为∆v，若垂直穿过闭合面的通量与∆v之比的极限存在，则该极限称为矢量场A在Q点的散度，即divA=limA⋅dSS∆v→0∆v物理意义：矢量的散度是通量体密度，即通过包围单位体积闭合面的通量。计算公式：在附图6所示的直角坐标系中，我们以所研究的点(x,y,z)为顶点作一个平行六面体，其三个边分别为∆x，∆y和∆z，分别计算三对表面穿出的A的通量。从左，右一对表面穿出的净通量等于∂Ay∂Ay⎛⎫⎪-A∆x∆z+A+∆y∆x∆z=∆x∆y∆zyy⎪∂y∂y⎝⎭附图6在直角坐标系中计算散度图示从上，下一对表面穿出的净通量等于∂Az∂Az⎛⎫-Az∆x∆y+Az+∆z⎪∆x∆y=∆x∆y∆z∂z∂z⎝⎭从前，后一对表面穿出的净通量等于∂Ax∂Ax⎛⎫-Ax∆y∆z+Ax+∆x⎪∆y∆z=∆x∆y∆z∂x∂x⎝⎭故从六面体穿出的净通量等于⎛∂Ax∂Ay∂Az⎫⎛∂Ax∂Ay∂Az⎫⎪⎪++∆x∆y∆z=++ψ=A⋅dS=⎪⎪∆v∂x∂y∂z∂x∂y∂z⎝⎭⎝⎭S令∆v→0，则divA=lim引入哈密尔顿算符∇=所以A⋅dSS∆v→0∆v=∂Ax∂Ay∂Az++∂x∂y∂z∂∂∂i+j+k∂x∂y∂z∂Ax∂Ay∂Az++=∇⋅AdivA=∂x∂y∂z3.3（高斯）散度定理考虑由任意曲面发出的通量，则有A⋅dS=⎰⎰⎰divAdv=⎰⎰⎰∇⋅AdvSvv上式为散度定理表达式，等式左边表示通过S面发出的总通量，等式右边则表示S所包围的体积V内向外发出的总通量，显然两边应该相等。证明：将闭合面S所围的体积dv分成许多体积元，计算包围每个体积元的小闭合面上穿出的A的通量，然后叠加。由散度的定义式divA=∇⋅A=limA⋅dSS∆v→0∆v得A⋅dSSii=∇⋅Advi由于相邻两体积元有一个公共表面，这个公共表面上的通量对这两个体积元来说恰好等值异号，求和时就相互抵消了。除了邻近S面的那些体积元外，所有体积元都是由几个与相邻体积元的公共表面包围而成的，这些体积元的通量总和为零。而邻近S面的那些体积元，它们有部分表面是S面上的面元，这部分表面的通量没有被抵消，其总和刚好等于从闭合面S穿出的通量。故得到A⋅dS=∑A⋅dSSiSii=⎰⎰⎰∇⋅Advv四．矢量的环流、旋度4.1矢量的环流定义：矢量A沿某一有向闭合曲线l的线积分为A沿l的环流，即A⋅dll物理意义：矢量沿闭合曲线的环流反映了闭合曲线内源的性质。4.2矢量的旋度目的：研究闭合曲线内每一点处的环流。定义：在矢量场A中，围绕Q点做一闭合回路，所围面积为∆S，A的旋度是矢量，其大小为∆S→0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即rotA=CurlA=∇⨯A=limA⋅dll∆S→0∆Smaxn0物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。4.3旋度计算公式：如附图8示，以M为顶点，取一个平行于yz平面的矩形面元，则面元矢量与x轴平行，其模用∆Sx表示。则M点的矢量A为A=Axi+Ayj+AzkA沿图示矩形回路l的积分为S附图7矢量的旋度在面元矢量上的投影∂Azdyy+∂Ay∂zdz⎛⎫∂Az⎪A⋅dl=A∆y+A+∆y∆zyz⎪∂y⎝⎭l∂Ay⎛⎫⎪-A+∆z∆y-Az∆zy⎪∂z⎝⎭⎛∂Az∂Ay⎫=∂y-∂z⎪⎪∆y∆z⎝⎭故，Ay附图8在直角坐标系中计算旋度∆Sx→0limA⋅dll∆Sx=∂Az∂Ay-∂y∂z由上所述，此极限是rotA在i∆Sx上的投影，也即rotA在x轴上的投影。相似地，取面元∆Sy,∆Sz分别平行于y轴和z轴，用与上面相同的运算得到rotA在y轴和z轴上的投影。所以ijk⎛∂Az∂Ay⎫⎛∂Ax∂Az⎫⎛∂Ay∂Ax⎫∂∂∂⎪⎪rotA=∇⨯A==-i+-j+-k⎪⎪⎪∂x∂y∂z∂z⎭⎝∂z∂x⎭∂y⎭⎝∂y⎝∂xAxAyAz推论：任一矢量的旋度的散度恒为零，即∇⋅(∇⨯A)=04.4斯托克斯定理考虑沿任一闭合曲面的环量，可得lA⋅dl=⎰⎰(rotA)⋅dSlS证明：将闭合回路l所围的面积S分成许多面元，计算沿包围每个面积元的小闭合回路dli上的A的环流，然后叠加。应用旋度矢量的定义式可得A⋅dllii=∇⨯A⋅dSi附图9沿大回路的环流的计算可以看出，将上式所有环流相加时，各个小回路在公共边上的那部分积分相互抵消（因为相邻小回路在公共边界上积分方向一定相反），仅在没有公共边的部分没有抵消，故所有小回路环流的总和等于沿大回路l的环流，即∑A⋅dlilii=A⋅dll该式左边当无限多个无限小的面元相加时，可以写为∑∇⨯A⋅dSSii=⎰⎰∇⨯A⋅dSS从而证明了斯托克斯定理。五．标量的梯度5.1概念由求等值面的最大变化率引出标量的梯度概念。定义：标量场u在某点的梯度是一个矢量，其方向为u增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u在该方向上的增加率，即最大增加率，如附图10所示。物理意义：标量的梯度表示了标量u增加率的最大值及方向。计算公式：∂u0gradu=∇u=gradun0=n∂nu+duurr+dl(a)标量场(b)u沿不同方向的变化率附图10标量场与梯度5.2梯度与方向导数的关系：标量沿某一方向的方向导数等于标量的梯度在该方向上的投影，即dududln==∇ucosθ=∇u⋅n0dldlndl特点：∇u是矢量，与坐标系无关，∇u与u的等位面正交。推论：任一标量的梯度的旋度恒为零，即∇⨯(∇u)=0六．亥姆霍兹定理6.1亥姆霍兹定理：位于空间有限区域内的矢量场，当它的散度，旋度以及它在区域边界上的场分布给定之后，该矢量场就被唯一确定；对于无限大空间，如果矢量在无限远处减少至零，则该矢量由其散度和旋度唯一确定。6.2几个场的名称和性质6.2-1保守场∇u沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。即p2p1⎰∇u⋅dl=u(p2)-u(p1)则∇u称为保守场，u称为保守位场。6.2-2无旋场旋度为零的矢量场叫做无旋场。标量函数的梯度是无旋场，如静电场。无旋场的散度不能处处为零。6.2-3无散场散度为零的矢量场叫做无散场。矢量的旋度是无散场，如恒定磁场。无散场的旋度不能处处为零。6.2-4一般场既有旋度，又有散度的矢量场。这个矢量场可以表示为一个无旋场分量和一个无散场分量之和，即F(r)=F1(r)+F2(r)其中F1(r)为无旋度分量，其散度不为0，设为ρ(r)，F2(r)为无散度分量，而它的旋度不为0，设为J(r)，因此有:∇⋅F(r)=∇⋅(F1(r)+F2(r))=∇⋅F1(r)=ρ(r)和∇⨯F(r)=∇⨯(F1(r)+F2(r))=∇⨯F2(r)=J(r)如上可见，F(r)的散度代表着形成矢量场的一种“源”ρ(r)，而的旋度则代表着形成的另一种“源”J(r)。一般当这两类源在空间的分布确定时，矢量场本身也就唯一的确定了。这一规律即为亥姆霍兹定理。由亥姆霍兹定理可知，对矢量场的研究应从散度和旋度两方面进行。散度方程和旋度方程组成了矢量场的基本微分方程，通量方程和环流方程组成了矢量场的基本积分方程。七．常用矢量分析公式设u、v为标量（数量），A、B为矢量，则有∇(uv)=u∇v+v∇u∇⋅(uA)=∇u⋅A+u∇⋅A∇⨯(uA)=∇u⨯A+u∇⨯A∇(A⋅B)=(A⋅∇)B+(B⋅∇)A+A⨯(∇⨯B)+B⨯(∇⨯A)∇⋅(A⨯B)=B⋅(∇⨯A)-A⋅(∇⨯B)∇⨯(A⨯B)=A(∇⋅B)-(A⋅∇)B+(B⋅∇)A-(∇⋅A)B∇⨯(∇⨯A)=∇(∇⋅A)-∇2A∇⨯(∇u)=0∇⋅(∇⨯A)=0⎰⎰⎰∇udV=udSvs⎰⎰⎰(∇⋅A)dV=A⋅dSvs⎰⎰⎰(∇⨯A)dV=(nvs⨯AdS)⎰⎰(nss⨯∇udS=udlll)⎰⎰(∇⨯A)⋅dS=A⋅dl2u∇v⋅dS=u∇⎰⎰⎰v+∇u∇vdVsv()∂u⎫⎛∂v22u-vdS=u∇v-v∇udV⎪⎰⎰⎰∂n∂n⎭s⎝v()八．梯度、散度、旋度及∇算符在柱坐标和球坐标系的表达式8.1柱坐标系∇U=∂Ur0+∂Uα0+∂Uk∂r∂α∂z∇⋅A=1∂r∂r(rA1∂Aα∂Azr)+r∂α+∂z10rrα01∂∂rk∂∇⨯A=∂r∂α∂zArrAαAz21∂∂U1∂2U∂2∇U=r∂r(rU∂r)+r2∂α2+∂z2∇2A=r0⎛2∂AAr⎫⎛2∂AAε⎫⎝∇2Aαr-r2∂α-r2⎪⎭+α0⎝∇2Arα+r2∂α-r2⎪⎭+k(∇2Az)8.2球坐标系∇U=∂U01∂U01∂U∂rr+r∂θθ+rsinθ∂αα0∇⋅A=1∂21∂r2∂r(rAr)+rsinθ∂θ(Aθsinθ)+1∂Aαrsinθ∂α1r2sinr01θ010∂θrsin∂θrα∂∇⨯A=∂r∂θ∂αArrAθrsiθnAα2U=1∂2∂U1∂⎛∂U⎫1∂2∇Ur2∂r(r∂r)+r2sinθ∂θ⎝sinθ∂θ⎪⎭+r2sin2θ∂α2∇2A=r0⎛∇2A⎫⎝r-2⎛r2⎝A∂Aα∂Aθr+Aθctgθ+csθc∂α+∂θ⎪⎫⎭⎪⎪⎭+θ0⎛⎝∇2Aθ-1⎛r2⎝Aθcsc2θ-2∂Aα∂θ+2ctgθ⋅csθc∂Aε⎫⎫∂α⎪⎭⎪⎪⎭+α0⎛21⎛2∂Ar∂Aθ⎫⎫⎝∇Aα-r2⎝Aαcscθ-2csθc∂α-2ctgθ⋅csθc∂α⎪⎭⎪⎪⎭11

球坐标系

在求解具体的物理问题之前，选择适当的坐标系是很重要的。如果坐标系选择得当，就能够简化问题的求解过程，使得到的结果易于理解，并且有利于深入探究所求解的问题的物理本质。如果坐标系选择不当，不仅会让求解过程复杂化，有时候甚至使得问题无法求解。直角坐标系、球坐标系和柱坐标系是在实际应用中经常被使用的坐标系。在物理学中，有许多问题都具有球对称性，在这种情况下，在球坐标系下求解问题是最好的选择。

要认识球坐标系，从地球仪开始是最直观的。将一个地球仪北极朝上放置，除了国家地区的地理标志之外，你会看到在地球仪上有许多规则的纵横交错的线条。首先你会注意到垂直于水平面的方向上有一系列在南北两极相交的线条，每一条这样的线条都围成一个大圆，所谓的大圆就是其半径等于球面半径的圆周，这些线条叫做经线；你还会注意到地球仪上有一系列与水平面方向平行的线条，每一条这样的线条都绕着南北极的连线围成一个小圆，小圆的半径从赤道开始向两极逐步递减，这些线条叫做纬线。实际上，在地球仪的球面上的每一点，都有一条经线和一条纬线相互交叉而过，只不过并不是每一点上的这两条线都被画出来罢了。

在地球仪上，我们只是*限在球面上讨论问题。但是，经线和纬线的概念完全可以被推广到三维空间中的每一点。这些纵横交错的经线和纬线就构成了球坐标系的基本图像。

要构造一个球坐标系，首先要选择一个原点作为参考点，还要选择三个相互垂直的方向作为参考方向。这样构想出来的图像实际上就是一个三维直角坐标系。为了讨论方便起见，这个直角坐标系的三根坐标轴按图中所示的方向画出。其中的Z轴在即将构造的球坐标系中被称为极轴。考虑空间中任意一点P。从原点向P点画一个矢量，称之为位置矢量，也叫径向矢量，有时候也简称为位矢或者径矢，用符号标记，它的大小就是P点与原点之间的距离，称为径向距离，其取值范围可以是从0到无穷大之间的任意值；P点的径向矢量与极轴的夹角叫做极角，在0到π之间取值；径向矢量在XY平面上有一根投影线，它与X轴的夹角叫做方位角，取值范围在0到2π之间。在球坐标系中，空间中任意一点可以用径向距离、极角和方位角这三个数字唯一地确定。

对于空间中的任意点，可以用这个点在直角坐标系中的三个坐标值唯一地确定，也可以用该点在球坐标系中的三个坐标值唯一地确定。既然这样，对于空间中的任意一点，这两组数字就应该是等价的。因此，它们之间应该存在某种联系，我们把这种联系称为坐标变换。从我们画出来的球坐标系与直角坐标系之间的关系很容易就可以看出，空间中任意一点的球坐标值和直角坐标值之间满足这样的变换关系：

在直角坐标系中，有一组相互垂直的固定不变的单位矢量：，这三个单位矢量分别沿着直角坐标系的三个坐标轴的方向。空间中任意一个矢量都可以表示成这三个单位矢量的线性组合：

在球坐标系中，也存在一组具有类似作用的单位矢量。与直角坐标系不同的是，这组单位矢量不是固定不变的，而是随着所研究的空间点不同发生改变。考虑空间中的任意一点P，这组单位矢量中的第一个是沿着径向矢量方向的径向单位矢量，用标记。利用这个单位矢量，径向矢量就可以简单地表示成。第二个单位矢量平行于过P点的经线的切线、指向极角增加的方向，用标记。第三个单位矢量平行于过P点的纬线的切线、指向方位角增加的方向，用标记。

任何一个坐标系都存在坐标面的概念。所谓的坐标面，就是任意一个坐标等于常数的面。在直角坐标系中，坐标面是与坐标轴垂直的平面。球坐标系的坐标面也是任意一个坐标等于常数的面，只不过这些面不一定是平面。径向距离等于常数的面是一个以原点为中心的球面；极角等于常数的面是一个以极轴为对称轴的圆锥面；方位角等于常数的面是一个某一条经线所在的平面。

在进行理论推导的时候，经常需要在一个球面上做积分，这就需要在球面上构造一个面元。球面上的面元由两条极角不同的纬线和两条方位角不同的经线围成。习惯上约定，这个面元的方向朝向径矢的方向。显然，这样围起来的一个面元的面积。其中用来量度一个叫做立体角元的量，一个立体角元是一个面元对原点所张的立体角，它由两个极角不同的圆锥面和两个方位角不同的平面围成。

更多的时候需要在一个空间范围内做积分，这时候就需要一个体元的体积的表达式。在直角坐标系中，体元往往选择其表面在坐标面上的长方体。在球坐标系中，体元的选取有类似的特点，所选取的体元的表面在坐标面上。球坐标系中的体元由两个径向距离不同的球面、两个极角不同的圆锥面和两个方位角不同的平面围成。或者借用立体角元的概念，一个体元是一个立体角元夹在两个不同半径的球面之间的那部分空间。这样围起来的一个体元的体积。